Để học tốt Hình học 12, phần này giúp bạn lựa chọn các bài tập trong SGK Toán 12 được biên soạn bám sát nội dung sách Hình học 12. Dưới đây chúng ta cùng tìm hiểu nội dung tài liệu. Mặt Cầu – Toán 12 và chọn một số bài tập liên quan đến nội dung này để nắm chắc kiến thức nhé!
I. Lý thuyết về mặt cầu
A. Tổng quan lý thuyết
1. Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong không gian cách một điểm cố định O một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}
2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì thì:
– Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA được gọi là bán kính của mặt cầu. Nếu OA và OB là hai tia sao cho Viêm khớp → = –OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu.
– Nếu OA
– Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.
⇒ Mặt cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu trong mp(P) và H là hình chiếu của O trong mp(P) ⇒ d = OH.
– Nếu d
– Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (Hình b).
– Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với mp(P). Do đó điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu trên đường thẳng Δ. Sau đó:
– Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).
– Nếu d
– Nếu d = R ⇔ Δ và quả cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.
Định lý: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:
– Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).
– Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau.
– Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).
5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Diện tích mặt cầu: SCŨ = 4πR2.
• Thể tích khối cầu: ruy băngCŨ = (4/3)πR3.
B. Kỹ năng giải quyết vấn đề
I. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
1. Các khái niệm cơ bản
* Trục đa giác dưới cùng: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Mọi điểm thuộc trục của đa giác đều cách đều các đỉnh của đa giác đó.
* Đường phân giác vuông góc của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Mỗi điểm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
* Đường phân giác vuông góc của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Mỗi điểm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2. Tâm và bán kính mặt cầu giới hạn
* Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Nói cách khác, đó là giao điểm I của trục tròn mặt phẳng đáy và đường trung trực của một mặt bên của hình chóp.
* bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số khối đa diện cơ bản
a) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
– Trái tim: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (khối lập phương).
⇒ Gọi I là trung điểm của AC’.
– bán kính: nửa độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
⇒ Bán kính: R = AC’/2 .
b) Lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong một đường tròn.
Xét lăng trụ đứng AĐầu tiênhoặc2hoặc3…MỘTN.MỘT’Đầu tiênMỘT’2MỘT’3…MỘT’N trong đó có 2 đầu AĐầu tiênhoặc2hoặc3…MỘTN và A’Đầu tiênMỘT’2MỘT’3…MỘT’N nội tiếp trong các đường tròn (O) và (O’). Khi đó, mặt cầu nội tiếp trong một lăng trụ đứng có:
– Trái tim: Tôi với là giữa của OO’.
– bán kính: R = IAĐầu tiên = IA2 = … = IA’N .
c) Hình chóp có các đỉnh nhìn đường nối 2 đỉnh còn lại vuông góc.
– Hình chóp S.ABC có 
.
+ Center: Tôi là trung tâm của SC.
+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC. .
– Hình chóp S.ABCD có
+ Center: Tôi là trung tâm của SC.
+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC = ID.
d) Hình chóp đều.
Cho hình chóp S.ABC…
– Gọi O là tâm đáy ⇒ SO là trục của đáy.
– Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn mp(SAO), ta vẽ đường phân giác của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và SO cắt tại I ⇒ I là tâm mặt cầu.
– Bán kính:
Chúng ta có: 
Bán kính là:
e) Hình chóp có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Cho hình chóp S.ABC… có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp đường tròn tâm O. Tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC… được xác định như sau:
– Từ tâm đường tròn O của đường tròn đáy, ta kẻ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC…) tại O.
– Trong mp(d, SA), ta dựng đường phân giác Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = …
– Tìm bán kính:
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét ΔMAI vuông tại M có:
f) Các kim tự tháp khác
– Dựng trục dưới.
– Dựng mặt phẳng vuông góc (α) với một cạnh bất kỳ.
– (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chóp.
g) Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác đều.
Khi xác định tâm mặt cầu ta phải xác định trục của mặt phẳng đáy là đường vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn đáy. Do đó, việc xác định tâm O ngoại tiếp là một yếu tố rất quan trọng của bài toán.
II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH CẦU LIÊN TỤC.
Cho kim tự tháp SAĐầu tiênhoặc2…MỘTN (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu giới hạn). Thông thường để xác định mặt cầu giới hạn của hình chóp ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Xác định tâm đường tròn của đa giác đáy. Dựng Δ: đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Dựng mặt phẳng trực tâm (α) của một cạnh bên.
Khi đó: – Tâm O của mặt cầu: ∩ mp(α) = {O}
– Bán kính: R = SA (= SO). Nó phụ thuộc vào từng trường hợp.
Ghi chú: Kĩ năng xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
1. Đường tròn trục của đa giác cơ bản: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Thiên nhiên: ∀M ∈ Δ: MA = MB = MC
Kết luận: MA = MB = MC M ∈ Δ
2. Các bước xác định trục:
– Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
– Bước 2: Qua H dựng Δ vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
3. Lưu ý: Kỹ năng tương tự trong tam giác
ΔSMO tương tự như SIA 
.
4. Nhận xét quan trọng:
⇒ SM là trục tròn của ΔABC.
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Các đỉnh có các điểm giống nhau nhìn một đoạn thẳng vuông góc.
Ví dụ: Làm 
⇒ BC (SAB) BC SB
Ta có B và A vuông góc với SC
⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu đường kính SC.
Gọi trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT của hình chóp và bán kính R = SI.
Hình dạng 2: Đỉnh có các cạnh bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
+ Vẽ SG ⊥ (ABC) thì G là tâm đường tròn ΔABC.
+ Trong mặt phẳng (SGC), vẽ đường trung trực của SC, đường thẳng này cắt SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán kính R = IS.
+ Tôi có 
Hình dạng 3: Đỉnh có mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Các mặt bên (SAB) ⊥ (ABC) và ΔSAB là các cạnh bằng nhau. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC (vì MA = MB = MC ).
Xây dựngĐầu tiên là trục của đường tròn ABC (dĐầu tiên qua M và song song với SH).
Gọi G là tâm đường tròn ΔSAB và d2 là trục tròn ΔSAB, d2 CẮTĐầu tiên trong tôi ⇒ tôi là trung tâm phạm vi giới hạn Khối chóp S.ABC
⇒ Bán kính R = SI. Coi như 
Trên đây là nội dung liên quan đến khối cầu – Toán 12 được anc.edu.vn Sưu tầm và chia sẻ cùng các bạn. Mong rằng những kiến thức mà chúng tôi chia sẻ sẽ mang lại những thông tin hữu ích cho bạn!